東工大生の物理・数学の勉強日記とか

【三角比】正弦定理の証明を東工大生がわかりやすく解説！

高校数学の三角比の単元では、正弦定理という定理を習いますよね。
一見これはとても複雑そうな定理に見えますが、実は意外と簡単に証明できてしまうし、使い方も一度わかれば簡単なのです！

さて、それでは正弦定理について一緒に考察していきましょう！

目次

正弦定理の復習
証明
まとめ

正弦定理の復習

まずは正弦定理とはどんな定理だったか復習しましょう。

定理(正弦定理)
△ $ABC$ に対して、 $BC = a$ , $CA = b$ , $AB = c$ とし、外接円の半径を $2R$ とすると、
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$ 　　が成り立つ。

一見よくわからない定理ですよね。でも安心してください！
一緒にゆっくりと考えていきましょう！

証明

それでは証明を追っていきましょう！

$\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ 　さえ証明できれば、
同じやり方で　 $\dfrac{b}{\sin B} = 2R$ 　と　 $\dfrac{c}{\sin C} = 2R$ 　も証明できるので、
$\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ 　を示せば十分ですね！

△ $ABC$ が 1⃣鋭角三角形 2⃣直角三角形 3⃣鈍角三角形の３通りに分けて考える。

1⃣鋭角三角形のとき
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$A'C$ が外接円の中心を通るように、点 $A'$ を考えます！

図のように外接円の中心 $O$ 、点 $A'$ をおくと、円周角の定理から、

$\angle BAC = \angle BA'C$ 　と

$\angle A'BC = 90^{\circ}$ 　がわかる。

また、 $A'C$ は外接円の直径なので、 $A'C = 2R$ である。

したがって、△ $A'BC$ に注目すると、

$\sin A = \sin BA'C = \dfrac{a}{2R}$

$∴\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ を得る。

2⃣直角三角形のとき
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これはほぼ自明ですね！

円周角の定理から、 $BC$ は外接円の直径なので、

$BC = a = a\sin 90^{\circ} = a\sin A = 2R$ となる。

よって、 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ 　を得る。

※ $\sin 90^{\circ} = 1$ です。

3⃣鈍角三角形のとき
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ラストです！1⃣と同様に考えますが、必要な知識は少し増えますよ！

図のように外接円の中心 $O$ 、点 $A'$ をおく。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、

$\angle A' = 180^{\circ} - \angle A$

円周角の定理から、

$\angle A'BC = 90^{\circ}$

であり、 $A'C$ は外接円の直径ゆえ、

$A'C = 2R$

がわかる。よって、△ $A'BC$ に注目すると、

$\sin BA'C = \sin (180^{\circ} - A) = \sin A = \dfrac{a}{2R}$

$∴\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ 　が得られる。　　　　　　　　　■

※公式 $\sin (180^{\circ} - θ) = \sin θ$ を用いました。

まとめ

以上のように正弦定理は証明できます！ついてこれましたか？

3通りの場合分けをしないといけないことが多少面倒ですが、正弦定理も結局は今まで知識の積み重ねだということです。

鈍角三角形の場合の証明は重要知識のオンパレードですので、三角比の演習問題としては良問かもしれません。

それでは、最後まで読んでいただき、ありがとうございました！