東工大生の数学・物理の勉強日記とか

【誰でもわかる】フーフーすると熱い液体が冷めるのはなぜ？原子・分子レベルで理解する。

とある東工大生です。

今回はフーフーすると液体の温度が下がる理由を解説してみようと思います！

とある本でこれを読んだのですが、何気なくやっていたフーフーにはこんな科学があったのか！と思いとても感動しました笑。これを読むことで、これからあなたは誇り高きフーフーをすることができるのです！

【結論】冷める理由

順々に書きたい気持ちはやまやまですが、もう結論から言ってしまいましょう。フーフーすると熱い液体が冷める理由は、「フーフーすることで周囲の湿った空気が入れ替えられ、液体の(正味の)蒸発量が多くなるから」ということです！

蒸発が多くなると冷たくなるのは他にも体験としてありませんか？例えば夏の暑い日には打ち水と言って、地面に水を撒きますよね。あれは水が蒸発することで周囲の熱を奪うから涼しくなるのです。フーフーすると液体の温度が下げるのは、湿った空気を入れ替えることで、この効果を促進しているからなのですね！

手っ取り早く知りたい人はこのくらい理解していれば十分だと思います。しかし、科学を学ぶ者としてはこれで満足できるでしょうか！？（いやできない！ ）以下ではさらに詳しく解説していきます！

なぜ蒸発すると温度が下がるか？

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そもそも液体の水と気体の水（水蒸気）は何が違うのでしょうか？

答えを言ってしまいましょう。
気体の水（水蒸気）では、水分子がバラバラになってビュンビュン飛び回っています。
一方液体の水では、水分子が引きつけ合いながら、それなりに動いています。（分子間には引力が働きます。気体では動くのが速すぎるので、引力がほとんど無視できます。）

さて、それでは水の表面を考えてみましょう。通常、表面の水分子は液体側に引きつけられるので、外に出ていくことはできません。しかし、他の分子に衝突されたりして、とても速い水分子が表面に向かったらどうなるでしょうか？この水分子は他の水分子からの引力を振り払って、外に出ていくことができます。これが蒸発なのです！

そして、外に出ていく水分子は速く、平均よりもエネルギーを持っているので、液体の水のエネルギーは外に出ていきます。したがって、蒸発すると液体の水の温度は下がるのです！

"正味の"蒸発量が増えるとは？

これで蒸発量が増えると水の温度が下がることが理解できましたね。それでは次に、フーフーすると"正味の"蒸発量が増えるとはどういうことか解説してみます。

さっきは「液体の水から速い水分子が飛び出していく」ということを言いましたね。よく考えれば当然ですが、その逆もまた然りです。つまり、「気体中の水分子が液体の水に入っていく」ということも起きます。この液体に入っていく水分子は、液体中の水分子に引っ張られるので、とても速いです。したがって、液体に気体中の水分子が入っていくと液体の水は温まります。さっきとは完全に逆の話ですね！

当然、空気中に水分子が少ないと、液体に入っていく水分子は少なくなります。したがって、フーフーして湿った空気の入れ替えを行うことで、気体から液体に入っていく水分子が少なくなるので、この温まる効果を抑制することができるのです！

このような事情を「"正味の"蒸発量（つまり、蒸発量 - 液体に戻る量）が増える」という一言で表現していたのです。納得いったでしょうか？

まとめ

もう一度、フーフーするとスープが冷める理由を書いておきましょう。

フーフーすると熱い液体が冷める理由は、「フーフーすることで周囲の湿った空気が入れ替えられ、液体の(正味の)蒸発量が多くなるから」ということです。

何気なくやっていたフーフーにこんな素晴らしい科学があったのかと感動するばかりですね。この記事を通してあなたも私の感動を味わってもらえたなら、とても嬉しいです。

なお、この記事の内容は以下の本を参考にしました。非常にユニークな物理の教科書ですので、興味のある人はぜひ読んでみてください。

ファインマン物理学〈1〉力学

ファインマン物理学〈1〉力学

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

東工大受験で数学特化はやめた方がいいという話。現役東工大生から受験生へ。

「東工大は数学特化で合格できるよ！」とか「英語0点でも理系特化でいける！」なんていうのを受験生時代は聞いたことがありましたが、 実際に東工大に入ってみて、 それは本当に一握りの人間であって、ほとんどの人には当てはまらないということを感じたので、 今回はそのことについて語っていこうと思います！

目次

数学特化で失敗する理由

結論から話しましょう。
数学特化をやめた方がいい理由は２つあります。

１．リスクが高い

受験本番では、メンタルが揺さぶられるような出来事が往々にして起こります。 例えば、今まで見たこともないような難問に出会ったり、解けそうな問題が一問も無かったり…なんていうことも。

そんな問題セットにたまたま当たった時、数学特化の人は 数学で点数を取らなければいけないプレッシャーに押しつぶされ、まともに問題が解けなくなることがあります。実際、2019年に受験した人で、そのような人を何人も見ました。こうなると、数学特化で受験した人はもう取り返しがつかず、残念な結果に…ということになってしまいます。

大事なことを言います。
数学では、天才も凡人も同じように大失点する可能性があります。
その時にカバーできるように、他教科で安定して得点することが何よりも重要です。

２．そもそも難しい

東工大を受験する層は、基本的には理系の猛者達ですよね。その中で数学をとびぬけて得点するというのは、正直言って至難の業です。

もちろん、本当に数学に秀でていて、中には満点を取ってしまうような人もいます。しかし、その偉業に挑むよりも、他教科でそれなりの点数を取る方が圧倒的に簡単に合格できるでしょう。物理や化学はしっかり勉強していれば、100点くらいを取るのは割と簡単です。英語ができなくても半分の75点さえ取れば、残りの数学で半分の150点を取って、計425点で合格できるのではないでしょうか。※

数学特化で東工大を受験するというのは、ほとんどの人にとって、自らハードモードを選択してゲームをプレイするようなものです。


※東工大受験の点数配分はこんな感じです。
数学 : 300点　　物理 : 150点
化学 : 150点　　英語 : 150点　　計750点
大体400点前後が例年のボーダーになっています。

じゃあ数学を勉強しなくていいのか？

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ここまで読むと、「じゃあ数学を勉強する意味ってあんまりないのか」と思う方がいるかもしれませんが、もちろんそういうわけではありません。

数学の力があると、逆に他教科で失敗した時にカバーできますし、何より、大学に入ってから苦労しなくて済みます。また、実際東工大に入ってみると、 "数学ができる人が合格できるとは限らないが、合格する人は数学ができる"ということを実感します。つまり、数学ができることは、合格するための必要条件ということですね笑。ですから、数学ができるということもまた重要なことなんだろうと思います。

ちなみに、他の記事で凡人の私が数学で7割をとった方法を紹介しています。
こちらもぜひお読みください。

kokiri118.hatenablog.com

まとめ

この記事で私が何よりも伝えたいのは、
万が一数学で失敗しても、他教科でカバーできるような勉強をするべき ということです。

もしかすると、読む前は数学特化で東工大に受験しようと思っていた方がいらっしゃるかもしれません。そのような方は、この記事をきっかけにして、数学で失敗した時のリスクマネジメントを考えてもらえると私は嬉しいです。

みなさんが東工大に合格することを願っています！

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

【進撃の巨人】アニメ第67話 凶弾 の感想。本当に辛い回だった。【ネタバレあり】

アニメ進撃の巨人の第67話が辛すぎたのでその感想を2点に絞って軽く書いていきます。
※単行本最新刊までのネタバレありです。

誰もが正義のために動いている

進撃の巨人の辛いところは、誰もが自分の正義のために動いているから、

誰も責めることもできないというところではないでしょうか。

サシャが死んだことは私たちからして悲しいことだけど、

ガビの気持ちも理解できてしまうから、責めることもできず、

結局感情の行き場がなくなってしまい、非常に辛かったです。

おそらく現実世界でもそうなのでしょう。

本当に身近な例になりますが、喧嘩も同じではないでしょうか。

お互いが自分なりの正義を持っていて、相手は悪だと思う。

そういう喧嘩を終わらせる一番の方法は、相手の言い分を理解して、

お互いが妥協できる解決策を考えることだと思います。

これを一般化して、争いを終わらせるのはお互いの理解だと言えると思います。

エレンの話を聞いて、理解し始めたファルコが、この争いを終わらせることを期待しています。

エレンの気持ち

エレンがサシャが死んだことを伝えられた時の感情も本当に切なかった…。

間違っているかもしれないけど、エレンが単独行動をとったのは、

仲間を信じた結果リヴァイ班のみんなを失った経験があるからだと理解しています。

おそらく、サシャが死ぬのは進撃の巨人の能力で知っていたんじゃないかなぁと思いますが、

サシャの死を聞いた時、エレンは

「自分を信じてもサシャを失ってしまった」

「結局サシャを救うことはできなかった…。未来には抗えないのか。」

と感じたのではないでしょうか。

サシャの最後の言葉を聞いて笑っていたのもその無力感の現れだと思っています。

最初に原作を読んだ時は、エレン何考えているんだ！？っていう感じでしたけど、

改めて見返してみると、エレンにも同情して辛くなってしまいますね…笑

さて、簡単な感想ですが、これで終わりにしたいと思います。

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

地方公立校出身の凡人が東工大数学で7割を取った方法。

こんにちは！とある現役東工大生の者です。

受験という世界では、真の学力だけでなく、効率良く点数を取るための戦略も重要です。

そこで今回は凡人が東工大数学で合格点を取るために、私がとった戦略を紹介していきます！

ちなみに私は特別数学の才能があるわけでもなく、いわゆる凡人だったわけですが、

この戦略をとることで、受験本番では7割を取ることができました！

目次

東工大数学の基本情報

まずは東工大数学の解答時間、点数などをざっと確認しましょう！

解答時間 : 180分　めちゃくちゃ長いですが、本番ではあっという間です。

点数 : 300点　英語,物理,化学は各150点です。

問題構成 : 大問が5つ　各60点

戦略を練る

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さて、大きな声では言いたくありませんが、

数学力では負けていても、戦略を練ることで得点では上回ることはできるかもしれません。

私が実際にとっていた2つの戦略を以下では紹介したいと思います！

①問題の難易度を見極める

私のような凡人が合格点を取るためには、

難しい問題を解くことよりも、解ける問題を完答することの方が圧倒的に大切です。

ですので、解けそうな問題かそうでないかを正しく判断することが重要になります！

しかし、これを正しく判断することは、簡単なことではありません。

したがって、普段数学の問題を解く時に、難易度を見極める訓練をする必要があります。

実際に私は、

解けそうな問題 → 〇
考える余地のある問題 → △
方針も思いつかない問題 → ✕

と印をつけることを決め、その訓練も行った結果、

試験本番では最初に解いた問題を完答することができて、気持ちに余裕を作ることができました！

また、最初に書いた通り、難しい問題を解くことはあまり重要ではありません。

ですので、解けそうな問題を解いたあとは、難問に挑む前に、その見直しを十分にするべきです。

焦って難問に挑んだ結果、難問はわからず先に解いた問題もケアレスミス、は最悪ですよね。

②とにかく考えたことを書きまくる

一部の天才を除いて、私たちは部分点を稼ぐことが非常に重要です。

実際私は2問しか完答していませんし、約半分は部分点で得点していました。

それでは、部分点をとるためにはどうしたらよいのでしょうか。

私がとった戦略は、考えたことはとにかく答案に書くということです！

以下にNG行為を列挙してみます。

1.解答を書き始めたが、方針が間違っていることに気付いたため、最初の解答を消した
2.計算用紙で色々考えたが、結局わからなかったので解答用紙はほとんど白紙で出した
3.(1)がわからないので、それ以降の問題は白紙で出した

こんなところでしょうか。

これらには共通してNGポイントがあります。

それは、"書かない"ということです。

たとえ答えがわからなくても、考え方の骨子が合っていれば相当な部分点を狙えますし、

どこか１つでも合っていることがあれば、それは点数になります。

ですから、何か考えたことが少しでもあれば解答用紙に書くべきなのです！

これは、頭ではわかっていても、実践できない人は多いと私は考えています。

実際私は、秋の冠模試の漸化式の問題で、図を描いただけで20点くらい貰えました笑

まとめ

私がとった戦略をまとめましょう。

戦略
①難易度を見極めて、解ける問題を完答する
②考えたことはすべて書いて、部分点を取り尽くす


この記事を読んでくれた皆様が無事東工大に合格することを願っています。

最後まで読んでいただきありがとうございました！

【三角比】正弦定理の証明を東工大生がわかりやすく解説！

高校数学の三角比の単元では、正弦定理という定理を習いますよね。
一見これはとても複雑そうな定理に見えますが、実は意外と簡単に証明できてしまうし、使い方も一度わかれば簡単なのです！

さて、それでは正弦定理について一緒に考察していきましょう！

正弦定理の復習

まずは正弦定理とはどんな定理だったか復習しましょう。

定理(正弦定理)
△ ABCに対して、 BC = a , CA = b , AB = c とし、外接円の半径を 2Rとすると、
\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R 　　が成り立つ。

一見よくわからない定理ですよね。でも安心してください！
一緒にゆっくりと考えていきましょう！

証明

それでは証明を追っていきましょう！


\dfrac{a}{\sin A} = 2R　さえ証明できれば、
同じやり方で　 \dfrac{b}{\sin B} = 2R　と　 \dfrac{c}{\sin C} = 2R　も証明できるので、
\dfrac{a}{\sin A} = 2R　を示せば十分ですね！

△ ABCが 1⃣鋭角三角形 2⃣直角三角形 3⃣鈍角三角形 の３通りに分けて考える。

1⃣鋭角三角形のとき
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A'Cが外接円の中心を通るように、点 A'を考えます！

図のように外接円の中心 O、点 A'をおくと、円周角の定理から、

\angle BAC = \angle BA'C　と

\angle A'BC = 90^{\circ}　がわかる。

また、 A'C は外接円の直径なので、 A'C = 2R である。

したがって、△ A'BC に注目すると、

\sin A = \sin BA'C = \dfrac{a}{2R}

∴\dfrac{a}{\sin A} = 2R を得る。

2⃣直角三角形のとき
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これはほぼ自明ですね！

円周角の定理から、 BCは外接円の直径なので、

BC = a = a\sin 90^{\circ} = a\sin A = 2R となる。

よって、 \dfrac{a}{\sin A} = 2R　を得る。

※ \sin 90^{\circ} = 1です。

3⃣鈍角三角形のとき
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ラストです！1⃣と同様に考えますが、必要な知識は少し増えますよ！

図のように外接円の中心 O、点 A'をおく。

円に内接する四角形の対角の和は180°なので、

\angle A' = 180^{\circ} - \angle A

円周角の定理から、

\angle A'BC = 90^{\circ}

であり、 A'Cは外接円の直径ゆえ、

A'C = 2R

がわかる。よって、△ A'BCに注目すると、

\sin BA'C = \sin (180^{\circ} - A) = \sin A = \dfrac{a}{2R}

∴\dfrac{a}{\sin A} = 2R　が得られる。　　　　　　　　　■

※公式 \sin (180^{\circ} - θ) = \sin θを用いました。

まとめ

以上のように正弦定理は証明できます！ついてこれましたか？

3通りの場合分けをしないといけないことが多少面倒ですが、正弦定理も結局は今まで知識の積み重ねだということです。

鈍角三角形の場合の証明は重要知識のオンパレードですので、三角比の演習問題としては良問かもしれません。

それでは、最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

【考察】三角形の合同条件と合同の定義は同値なのか？証明してみた

中学数学では三角形の３つの合同条件というものを習いますよね。しかし、習った当時はひたすらに覚えろと言われ、理解せずにただ覚えた人が大半なのではないでしょうか。そこで今回は、改めて三角形の合同条件について考えてみようと思います。中学校はとっくの昔に卒業した大人の方でも、数学好きの中学生の方でもわかるように書いていきます！

(ここで使う数学の知識は別記事で補完することも考えています。)

 目次

1.三角形の合同条件

まずは、合同条件を3つ列挙してみます。知っている人は読み飛ばしてもokです！

 以下の３つの条件のうちいずれかが満たされるとき、２つの三角形は合同となる。

①3組の辺がそれぞれ等しい。

②2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい。

③1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい。

 

2.合同の定義

上に挙げた３つの合同条件は、実は合同の定義そのものではありません。

それでは、合同の定義と合同条件はそれぞれ何なのでしょうか。

 

ではまず、合同の定義を見ていきましょう！

 

定義（三角形の合同）

２つの三角形に対して、片方の三角形を適当に平行移動,回転移動,対称移動させると、他方の三角形に重なるとき、その２つの三角形は合同であるという。

 

対称移動とは、ざっくり言うと図形を裏返すことです。

 

合同の定義を簡単に言えば、片方の三角形を形を変えずに移動させて、他方の三角形に重ねられるなら、２つの三角形は合同である、ということです。


例えば、下図の△ABCと△A'B'C'と△A''B''C''は平行移動と回転移動で重ねることができるので、△ABCと△A'B'C'と△A''B''C''は合同であり、△ABC ≡ △A'B'C' ≡ △A''B''C'' と書けます。

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これを言い換えると、２つの三角形のすべての辺と角が等しければ合同である、となるでしょう。なぜなら、移動して重なるならばすべての辺と角は等しいし、その逆も成り立つからです。(※1)

 

POINT！

２つの三角形が合同 ⇔ ２つの三角形の辺と角がすべて等しい

("⇔"とは、前後が同値、つまり言い換えになっているという意味です。)

 

3.何を証明するのか？

 上に述べた、"辺と角がすべて等しい"という条件はもっとスマートにすることができます。実はそれが、最初に紹介した３つの合同条件なのです！

 

したがって、

辺と角がすべて等しい ー(＊) ⇔ 3組の辺がすべて等しい ー①

　　　　　　　　　　　　    ⇔ 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい ー②

　　　　　　　　　　　　    ⇔ 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい ー③

ということを証明すれば、合同条件と三角形の合同の定義は同値であることが言えます。

 

4.証明

まずは証明の流れをざっと見ていきます。もし普通に証明するなら、 (＊)⇒①,②,③は自明なので、①⇒(＊) , ②⇒(＊) , ③⇒(＊) の３つを証明することになります。

 

しかし、この３つを証明するのは少し大変です。そこで、(＊)⇔①を示してから、②⇒①と③⇒①を証明することにします。なぜこれだけで十分なのか説明しましょう。(＊)⇔①示すと、(＊)⇒②,③は自明なので、①(⇔(＊))⇒②と①(⇔(＊))⇒③が言えます。したがって、さらに②⇒①と③⇒①を証明すれば、(＊)⇔①⇔②⇔③が示されたことになるということです。

 

POINT！

(＊) ⇔ ① と ② ⇒ ① と ③ ⇒ ① を示せば十分！

 

ここで悲しいお知らせですが、私の能力では三角比を使う方法しか思いつきません。ここで使う知識は別記事にて補完する予定ですが、三角比を知らないという方は最後の考察と感想だけでも読んでもらえると嬉しいです！
 

さて、それでは証明に取り掛かっていきましょう！

 

（１）(＊) ⇔ ① を示す

角と辺の情報を結ぶために、余弦定理を用いて示します！

(＊) ⇒ ① は自明なので、以下① ⇒ (＊) を示す。

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上図のように辺の長さ a,b,cをおくと、余弦定理より、

  cosA = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = cosA'

  0^{\circ} ＜  A  ,  A'  ＜ 180^{\circ} なので、 \angle A = \angle A' を得る。

\angle B = \angle B'  ,  \angle C = \angle C' も同様に示せる。

よって、① ⇒ (＊)が成り立つ。

 

（２）② ⇒ ① を示す。

残りの1組の辺が等しいことを示せばよいですね！ 余弦定理を使います。

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上図のように辺の長さを a,b,c,c'とおくと、余弦定理より、

c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC = c'^2

c , c' ＞ 0 なので、 c = c' を得る。

よって、② ⇒ ① が成り立つ。

 

（３）③ ⇒ ① を示す。

残り2組の辺が等しいことを示せばよいですね！正弦定理と余弦定理を使います。

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上図のように辺の長さ a,b,c,b',c'をおく。正弦定理より、

\dfrac{b}{sinB} = \dfrac{a}{sinA}

∴b = \dfrac{asinB}{sinA} =\dfrac{asinB}{sinA'} = b'

( \angle B = \angle B' , \angle C = \angle C' より、 \angle A = \angle A'であることを用いた。)

また、余弦定理より、

c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC = c'^2

c , c' ＞ 0 なので、 c = c' となる。

よって、③ ⇒ ① が示された。

 

以上より、合同の定義と３つの合同条件はすべて同値である。

 

5.考察と感想

 さて、やっと証明を終えることができましたね。ここまで長い道のりだった…。

 

しかし、私は若干納得がいっていません。三角形の合同は中学数学の範囲なのに、今まで追ってきた証明はゴリゴリに高校数学を用いているではありませんか。これだと、中学数学は直観に頼った算数に過ぎないことになってしまうと思うのです。もし、中学数学の範囲で証明できる方がいれば、ぜひコメントをお願いします。

 

最後になりますが、本記事のように、発展した数学を学んだあとで以前の数学を再考してみると、なかなか面白い発見があったりします。ぜひ、皆さんも中学数学や高校数学を思い出して、深く考えてみてください。きっと楽しい数学の世界が待っていますよ！

 

最後まで読んでいただき、ありがとうございました！

 

【ブログ開設】東工大生の勉強日記とか【自己紹介】

挨拶

　初めてブログを開設する東工大生です。このブログでは主に物理や数学の勉強日記を書くことになるかなぁと考えています。勉強日記以外にも有益な情報や、日常で考えたことも書いていくことになるかな？ブログを通して物理や数学の楽しさを伝えていければいいなと思っているので、読んでいただけると嬉しいです。

自己紹介

 

ちなみにノリでブログを始めたので、ブログの書き方はまったく知らないです。

どうぞよろしくお願いします。